次の関数を微分せよ。 $f(x) = \sqrt[4]{x} + \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

$f(x) = \sqrt[4]{x} + \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

まず、関数をより扱いやすい形に変形します。

$f(x) = x^{\frac{1}{4}} + x^{-1}$

次に、それぞれの項を微分します。冪関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

1つ目の項 $x^{\frac{1}{4}}$ の微分は、

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

2つ目の項 $x^{-1}$ の微分は、

$\frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1x^{-1-1} = -x^{-2}$

したがって、$f(x)$ の微分は、

$f'(x) = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - x^{-2}$

となります。

これを整理すると、

$f'(x) = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} - \frac{1}{x^2}$

$f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} - \frac{1}{x^2}$