以下の6つの関数を微分する問題です。 (1) $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ (2) $\frac{x+2}{x^2+x-4}$ (3) $\cos^2{x}$ (4) $e^x - e^{-x}$ (5) $\log(3x+1)$ (6) $(x^3-4) \tan{x}$

1. 問題の内容

以下の6つの関数を微分する問題です。

(1) $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$

(2) $\frac{x+2}{x^2+x-4}$

(3) $\cos^2{x}$

(4) $e^x - e^{-x}$

(5) $\log(3x+1)$

(6) $(x^3-4) \tan{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ の微分

まず、それぞれの項を微分します。

$\sqrt{x} = x^{1/2}$ なので、$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、$\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -1 x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$\frac{d}{dx} (\sqrt{x} + \frac{1}{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $\frac{x+2}{x^2+x-4}$ の微分

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x+2$, $v = x^2+x-4$ とおくと、$u' = 1$, $v' = 2x+1$

$\frac{d}{dx} (\frac{x+2}{x^2+x-4}) = \frac{1(x^2+x-4) - (x+2)(2x+1)}{(x^2+x-4)^2}$

$= \frac{x^2+x-4 - (2x^2+x+4x+2)}{(x^2+x-4)^2}$

$= \frac{x^2+x-4 - 2x^2-5x-2}{(x^2+x-4)^2}$

$= \frac{-x^2 -4x -6}{(x^2+x-4)^2}$

(3) $\cos^2{x}$ の微分

合成関数の微分を用います。 $u = \cos{x}$ とすると、$y = u^2$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 2u (-\sin{x}) = 2\cos{x} (-\sin{x}) = -2\sin{x}\cos{x} = -\sin{2x}$

(4) $e^x - e^{-x}$ の微分

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$, $\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

$\frac{d}{dx} (e^x - e^{-x}) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

(5) $\log(3x+1)$ の微分

合成関数の微分を用います。 $u = 3x+1$ とすると、$y = \log{u}$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} (3) = \frac{3}{3x+1}$

(6) $(x^3-4) \tan{x}$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^3-4$, $v = \tan{x}$ とおくと、$u' = 3x^2$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{d}{dx} ((x^3-4) \tan{x}) = 3x^2 \tan{x} + (x^3-4) \frac{1}{\cos^2 x} = 3x^2 \tan{x} + \frac{x^3-4}{\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $\frac{-x^2 -4x -6}{(x^2+x-4)^2}$

(3) $-\sin{2x}$

(4) $e^x + e^{-x}$

(5) $\frac{3}{3x+1}$

(6) $3x^2 \tan{x} + \frac{x^3-4}{\cos^2 x}$