$\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

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1. 問題の内容

以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$

(2) $\int 2^x dx$

(3) $\int x^2 \log x dx$

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2. 解き方の手順

### (1) $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$

1. 被積分関数を展開します。

$\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

2. 積分を計算します。

$\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx = \int (1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx$

$= \int 1 dx + 2\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int \frac{1}{x} dx$

$= x + 2\int x^{-1/2} dx + \log|x| + C$

$= x + 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + \log|x| + C$

$= x + 4\sqrt{x} + \log|x| + C$

### (2) $\int 2^x dx$

1. 指数関数の積分公式を利用します。$\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C$

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$

### (3) $\int x^2 \log x dx$

1. 部分積分法を利用します。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

2. 部分積分法公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用します。

$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx = x + 4\sqrt{x} + \log|x| + C$

(2) $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$

(3) $\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$