次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx$

この積分は、$x=0$ で被積分関数が定義されないため、特異積分です。したがって、積分を次のように分割します。

$\int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} dx + \int_{0}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx$

次に、不定積分を求めます。

$\int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3x^{\frac{1}{3}} + C$

したがって、

$\int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{a \to 0^-} \int_{-1}^{a} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{a \to 0^-} [3x^{\frac{1}{3}}]_{-1}^{a} = \lim_{a \to 0^-} (3a^{\frac{1}{3}} - 3(-1)^{\frac{1}{3}}) = 3(0) - 3(-1) = 3$

$\int_{0}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{b \to 0^+} \int_{b}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{b \to 0^+} [3x^{\frac{1}{3}}]_{b}^{1} = \lim_{b \to 0^+} (3(1)^{\frac{1}{3}} - 3b^{\frac{1}{3}}) = 3(1) - 3(0) = 3$

したがって、

$\int_{-1}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = 3 + 3 = 6$

3. 最終的な答え

6