与えられた問題は、広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{dx}{4+x^2}$ を計算します。

これは逆正接関数で表すことができます。

$\int \frac{dx}{4+x^2} = \int \frac{dx}{2^2+x^2} = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

次に、広義積分の定義に従って、積分区間を有限の区間に置き換えて極限を取ります。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2} = \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{dx}{4+x^2}$

$= \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{a}^{b}$

$= \lim_{a \to -\infty} \lim_{b \to \infty} \left( \frac{1}{2} \arctan(\frac{b}{2}) - \frac{1}{2} \arctan(\frac{a}{2}) \right)$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ および $\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$ を用いると、

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\pi}{2})$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2} = \frac{\pi}{2}$