複素積分 $\oint_C \bar{z} dz$ を計算します。ただし、$C = \{z \mid |z| = 1\}$ は単位円周を表し、積分路は正方向（反時計回り）です。

解析学複素積分複素数線積分積分

2025/6/25

1. 問題の内容

複素積分

\oint_C \bar{z} dz

を計算します。ただし、

C = \{z \mid |z| = 1\}

は単位円周を表し、積分路は正方向（反時計回り）です。

2. 解き方の手順

C

をパラメータ表示します。

z = e^{it}

（

0 \le t \le 2\pi

）とおくと、

dz = i e^{it} dt

となります。

\bar{z} = e^{-it}

なので、積分は次のようになります。

\oint_C \bar{z} dz = \int_0^{2\pi} e^{-it} (i e^{it}) dt = \int_0^{2\pi} i dt = i \int_0^{2\pi} dt

積分を実行します。

i \int_0^{2\pi} dt = i [t]_0^{2\pi} = i (2\pi - 0) = 2\pi i

3. 最終的な答え

\oint_C \bar{z} dz = 2\pi i

「解析学」の関連問題

与えられた微分方程式 $yy'' = (y')^2$ を解く問題です。

微分方程式解法

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算しなさい。

積分定積分逆三角関数

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を計算する問題です。

極限三角関数倍角の公式

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^2 + \frac{1}{x^3}) dx$ を計算する問題です。

積分定積分不定積分計算

関数 $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2$ を偏微分し、$f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ を求めます。さらに、点 $(2, 1)$ における接平面の方程式 $z...

偏微分接平面多変数関数

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{3x} dx$ を計算し、結果を求める問題です。途中の積分結果を四角で囲まれた箇所に書き込む必要があります。

定積分対数関数積分計算

関数 $f(x, y) = 1 + 2x^2y - 3xy^3$ を偏微分し、$f_x(x, y)$ および $f_y(x, y)$ を求める問題です。$f_x(x,y)$は $Axy + By^C$...

偏微分多変数関数偏導関数

与えられた関数 $f(x, y) = 1 + 2x^2y - 3xy^3$ を $x$ で偏微分し、$f_x(x, y) = Axy + By^C$ の形で表したときの、$A$, $B$, $C$ の...

偏微分多変数関数

定積分 $\int_e^{e^5} \frac{4}{x} dx$ の値を計算する問題です。

定積分積分対数関数

定積分 $\int_0^{\log 2} e^{7x} dx$ を計算し、結果を求めます。

定積分指数関数積分計算