関数 $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2$ を偏微分し、$f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ を求めます。さらに、点 $(2, 1)$ における接平面の方程式 $z = Kx + Ly + M$ の係数 $K, L, M$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2$ を偏微分し、$f_x(x,y)$ と $f_y(x,y)$ を求めます。さらに、点 $(2, 1)$ における接平面の方程式 $z = Kx + Ly + M$ の係数 $K, L, M$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ で偏微分して $f_x(x, y)$ を求めます。

$x$ で偏微分するとき、$y$ は定数とみなします。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x^2}{4} + y^2) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$

次に、$f(x, y)$ を $y$ で偏微分して $f_y(x, y)$ を求めます。

$y$ で偏微分するとき、$x$ は定数とみなします。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x^2}{4} + y^2) = 2y$

次に、$(x, y) = (2, 1)$ における $f_x$ と $f_y$ の値を求めます。

$f_x(2, 1) = \frac{2}{2} = 1$

$f_y(2, 1) = 2(1) = 2$

したがって、$K = f_x(2, 1) = 1$ および $L = f_y(2, 1) = 2$ となります。

接平面の方程式は、次のようになります。

$z = f(2, 1) + f_x(2, 1)(x - 2) + f_y(2, 1)(y - 1)$

$f(2, 1) = \frac{2^2}{4} + 1^2 = \frac{4}{4} + 1 = 1 + 1 = 2$

$z = 2 + 1(x - 2) + 2(y - 1) = 2 + x - 2 + 2y - 2 = x + 2y - 2$

問題の形式に合わせると、$z = Kx + Ly + M$ より、$z = 1x + 2y - 2$ なので、$M = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$f_x(x, y) = \frac{x}{2}$

$f_y(x, y) = 2y$

$K = 1$

$L = 2$

$M = -2$