$0 < x < 1$, $1 < x$, $\alpha \in \mathbb{R}$とするとき、以下の計算をせよ。 (1) $\frac{d}{dx} x^\alpha$ (2) $\frac{d}{dx} x^x$ (3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}}$

1. 問題の内容

$0 < x < 1$, $1 < x$, $\alpha \in \mathbb{R}$とするとき、以下の計算をせよ。

(1) $\frac{d}{dx} x^\alpha$

(2) $\frac{d}{dx} x^x$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^\alpha$の微分を求める。

これは単純なべき関数の微分なので、公式$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$を利用する。

$\frac{d}{dx} x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}$

(2) $y = x^x$ の微分を求める。

両辺の自然対数をとると、$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

両辺を$x$で微分する。左辺は$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$、右辺は積の微分法を用いて$\frac{d}{dx}(x\ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

したがって、$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}}$ を計算する。

$u = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = u^2$、 $dx = 2u du$。

与式は $\int \frac{2u du}{\sqrt{u^2(u-1)}} = \int \frac{2u du}{u\sqrt{u-1}} = \int \frac{2}{\sqrt{u-1}} du$

さらに、$v = u-1$ と置換すると、$du = dv$。

与式は $\int \frac{2}{\sqrt{v}} dv = 2 \int v^{-\frac{1}{2}} dv = 2 \cdot \frac{v^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 4\sqrt{v} + C = 4\sqrt{u-1} + C = 4\sqrt{\sqrt{x}-1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1}$

(2) $\frac{d}{dx} x^x = x^x(\ln x + 1)$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}} = 4\sqrt{\sqrt{x}-1} + C$