2つの曲線 $y = ax^2$ と $y = \log x$ が接するとき、以下の問題を解きます。 (1) 定数 $a$ の値と接点の座標を求めます。 (2) 2つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。ただし、$\log x$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = ax^2$ と $y = \log x$ が接するとき、以下の問題を解きます。

(1) 定数 $a$ の値と接点の座標を求めます。

(2) 2つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。ただし、$\log x$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

(1)

2つの曲線 $y = ax^2$ と $y = \log x$ が点 $(t, at^2)$ で接すると仮定します。このとき、接点において $at^2 = \log t$ が成り立ちます。

また、それぞれの曲線の $x = t$ における微分係数も等しいので、

$2at = \frac{1}{t}$

$2at^2 = 1$

$at^2 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

これを $at^2 = \frac{1}{2}$ に代入すると、

$a(\sqrt{e})^2 = \frac{1}{2}$

$ae = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2e}$

よって、接点の座標は $(t, at^2) = (\sqrt{e}, \frac{1}{2})$ となります。

(2)

2つの曲線と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

$y = ax^2$ と $x$軸の交点は原点 $(0, 0)$ です。

$y = \log x$ と $x$軸の交点は $(1, 0)$ です。

$y = \log x$ が $x$ 軸と交わる点は $x=1$ です。

求める面積 $S$ は、$\log x$ と $x$軸の間 $(1, \sqrt{e})$ の面積から $ax^2$ と $x$ 軸の間の面積を引いたものになります。

ただし、$y = \frac{1}{2e} x^2$ と $y = \log x$ の交点が $(\sqrt{e}, 1/2)$ であることを利用します。

$S = \int_1^{\sqrt{e}} |\log x| dx - \int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e} x^2 dx$

ここで $\int \log x dx = x\log x - x + C$ なので、

$\int_1^{\sqrt{e}} \log x dx = [x\log x - x]_1^{\sqrt{e}} = (\sqrt{e} \log \sqrt{e} - \sqrt{e}) - (1 \log 1 - 1) = \sqrt{e} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{e} - (0 - 1) = \frac{\sqrt{e}}{2} - \sqrt{e} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{e}}{2}$

また、

$\int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{2e} x^2 dx = \frac{1}{2e} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{e}} = \frac{1}{2e} \cdot \frac{(\sqrt{e})^3}{3} = \frac{e\sqrt{e}}{6e} = \frac{\sqrt{e}}{6}$

したがって、求める面積は

$S = \left| 1 - \frac{\sqrt{e}}{2} \right| - \frac{\sqrt{e}}{6} = 1 - \frac{\sqrt{e}}{2} - \frac{\sqrt{e}}{6} = 1 - \frac{3\sqrt{e} + \sqrt{e}}{6} = 1 - \frac{4\sqrt{e}}{6} = 1 - \frac{2\sqrt{e}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2e}$、接点の座標は $(\sqrt{e}, \frac{1}{2})$

(2) $S = 1 - \frac{2\sqrt{e}}{3}$