(1) $f(x) = \sin x \cos 2x$ (2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$ これらの関数のマクローリン級数を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = \sin x \cos 2x$

(2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$

これらの関数のマクローリン級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x \cos 2x$ のマクローリン展開

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \cdots = 1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$

$f(x) = (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots)(1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots) = x - 2x^3 - \frac{x^3}{6} + \frac{2}{3}x^5 + \frac{x^5}{120} + \cdots = x - \frac{13}{6}x^3 + \frac{81}{120}x^5 + \cdots$

(2) $g(x) = \frac{x^3 - 7x - 2}{x^2 - 2x - 3}$ のマクローリン展開

まず、分子を分母で割ります。

$x^3 - 7x - 2 = (x^2 - 2x - 3)(x + 2) + (-2x + 4)$

したがって、

$g(x) = x + 2 + \frac{-2x + 4}{x^2 - 2x - 3}$

分母を因数分解すると $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ なので、部分分数分解を行う。

$\frac{-2x + 4}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}$

$-2x + 4 = A(x + 1) + B(x - 3)$

$x = 3$ を代入すると、 $-6 + 4 = A(4) \implies -2 = 4A \implies A = -\frac{1}{2}$

$x = -1$ を代入すると、 $2 + 4 = B(-4) \implies 6 = -4B \implies B = -\frac{3}{2}$

よって、

$g(x) = x + 2 - \frac{1}{2(x - 3)} - \frac{3}{2(x + 1)}$

$\frac{1}{x - 3} = -\frac{1}{3} \frac{1}{1 - x/3} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{3})^n = -\frac{1}{3} (1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \cdots)$

$\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

$g(x) = x + 2 + \frac{1}{6} (1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \cdots) - \frac{3}{2} (1 - x + x^2 - x^3 + \cdots) = x + 2 + \frac{1}{6} + \frac{x}{18} + \frac{x^2}{54} + \cdots - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}x^2 + \cdots = (2 + \frac{1}{6} - \frac{3}{2}) + (1 + \frac{1}{18} + \frac{3}{2})x + (\frac{1}{54} - \frac{3}{2})x^2 + \cdots = (\frac{12 + 1 - 9}{6}) + (\frac{18 + 1 + 27}{18})x + (\frac{1 - 81}{54})x^2 + \cdots = \frac{4}{6} + \frac{46}{18}x - \frac{80}{54}x^2 + \cdots = \frac{2}{3} + \frac{23}{9}x - \frac{40}{27}x^2 + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x - \frac{13}{6}x^3 + \frac{81}{120}x^5 + \cdots$

(2) $g(x) = \frac{2}{3} + \frac{23}{9}x - \frac{40}{27}x^2 + \cdots$