$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^2 + \frac{1}{x^3}) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^2 + \frac{1}{x^3}) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^3} = x^2 + x^{-3}$となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^2 + x^{-3}) dx = \int x^2 dx + \int x^{-3} dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2x^2} + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (x^2 + \frac{1}{x^3}) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2x^2}]_{\frac{1}{2}}^{1} = (\frac{1^3}{3} - \frac{1}{2(1^2)}) - (\frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - \frac{1}{2(\frac{1}{2})^2}) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (\frac{\frac{1}{8}}{3} - \frac{1}{2(\frac{1}{4})}) = (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{24} - 2) = \frac{2-3}{6} - \frac{1-48}{24} = -\frac{1}{6} + \frac{47}{24} = \frac{-4+47}{24} = \frac{43}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{43}{24}$