与えられた微分方程式 $yy'' = (y')^2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $yy'' = (y')^2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y' = p$ とおくと、$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$ となります。

これを元の式に代入すると、

$yp\frac{dp}{dy} = p^2$

となります。

$p=0$ のとき、すなわち $y'=0$ のとき、$y=c_1$ （$c_1$は定数）は一つの解となります。

$p \neq 0$ のとき、両辺を$p$で割ると、

$y\frac{dp}{dy} = p$

$\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}$

となります。両辺を積分すると、

$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y}$

$\ln|p| = \ln|y| + \ln|c_2|$

$\ln|p| = \ln|c_2 y|$

$p = c_2 y$

ここで、$c_2$は積分定数です。

$p = \frac{dy}{dx}$より、

$\frac{dy}{dx} = c_2 y$

$\frac{dy}{y} = c_2 dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{dy}{y} = \int c_2 dx$

$\ln|y| = c_2 x + c_3$

ここで、$c_3$は積分定数です。

$|y| = e^{c_2 x + c_3} = e^{c_3} e^{c_2 x}$

$y = \pm e^{c_3} e^{c_2 x} = c_4 e^{c_2 x}$

ここで、$c_4 = \pm e^{c_3}$ は定数です。

よって、$y = c_4 e^{c_2 x}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = c_1$ または $y = c_4 e^{c_2 x}$。

ここで、$c_1, c_2, c_4$ は定数です。

あるいは、より一般的に $y = c_1 e^{c_2 x}$ （$c_1, c_2$ は定数）と表現できます。

$y = 0$ も解の一つです。