$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の積分は $\arcsin(x)$ となることを利用する。

$4$ は定数なので、積分の外に出せる。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{\sqrt{1-x^2}} dx = 4 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$

したがって、

$4 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = 4 [\arcsin(x)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

$= 4(\arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0))$

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ であり $\arcsin(0) = 0$ であるから

$4(\arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0)) = 4(\frac{\pi}{6} - 0) = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$