定積分 $\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{3x} dx$ を計算し、結果を求める問題です。途中の積分結果を四角で囲まれた箇所に書き込む必要があります。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{3x} dx$ を計算し、結果を求める問題です。途中の積分結果を四角で囲まれた箇所に書き込む必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた定積分を計算します。

$\frac{1}{3}$は定数なので、積分の外に出すことができます。

$\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{3x} dx = \frac{1}{3} \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$の積分は $\log|x|$ です。したがって、

$\frac{1}{3} \int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3} [\log|x|]_{1}^{\sqrt{e}}$

$x>0$なので、絶対値を外すことができます。

$\frac{1}{3} [\log x]_{1}^{\sqrt{e}}$

積分範囲の上端と下端を代入します。

$\frac{1}{3} (\log \sqrt{e} - \log 1)$

$\log 1 = 0$ なので、

$\frac{1}{3} \log \sqrt{e}$

$\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\frac{1}{3} \log e^{\frac{1}{2}}$

対数の性質 $\log a^b = b \log a$ より、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \log e$

$\log e = 1$ なので、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

したがって、

$\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{3x} dx = \frac{1}{3} [\log x]_{1}^{\sqrt{e}} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

キ: $\frac{1}{3} \log x$

ク: $\frac{1}{6}$