次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\pi} x \cos(3x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} x \cos(3x) dx$

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = x$, $dv = \cos(3x)dx$ とすると、

$du = dx$, $v = \frac{1}{3}\sin(3x)$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int_{0}^{\pi} x \cos(3x) dx = \left[ x \cdot \frac{1}{3} \sin(3x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{3} \sin(3x) dx$

$= \left[ \frac{x}{3} \sin(3x) \right]_{0}^{\pi} - \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \sin(3x) dx$

$= \left( \frac{\pi}{3} \sin(3\pi) - \frac{0}{3} \sin(0) \right) - \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{3} \cos(3x) \right]_{0}^{\pi}$

$= \left( \frac{\pi}{3} \cdot 0 - 0 \right) + \frac{1}{9} \left[ \cos(3x) \right]_{0}^{\pi}$

$= 0 + \frac{1}{9} \left( \cos(3\pi) - \cos(0) \right)$

$= \frac{1}{9} (-1 - 1)$

$= \frac{1}{9} (-2)$

$= -\frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{9}$