与えられた6つの関数を $x$ で微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を $x$ で微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x - 3$ の微分

$y' = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(3) = 2 \cdot 1 - 0 = 2$

(2) $y = 5$ の微分

$y' = \frac{d}{dx}(5) = 0$ （定数の微分は0）

(3) $f(x) = x^2 + 4x$ の微分

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x) = \frac{d}{dx}(x^2) + 4 \cdot \frac{d}{dx}(x) = 2x + 4 \cdot 1 = 2x + 4$

(4) $f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 4$ の微分

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 2x^2 - 5x + 4) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - 5 \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(4)$

$f'(x) = 3(3x^2) - 2(2x) - 5(1) + 0 = 9x^2 - 4x - 5$

(5) $y = (2x + 1)^2$ の微分

$y = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ なので、

$y' = \frac{d}{dx}(4x^2 + 4x + 1) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 4 \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(1) = 4(2x) + 4(1) + 0 = 8x + 4$

または、合成関数の微分として解くこともできます。

$y' = 2(2x+1) \cdot \frac{d}{dx}(2x+1) = 2(2x+1)(2) = 4(2x+1) = 8x+4$

(6) $y = x(x+1)^2$ の微分

$y = x(x+1)^2 = x(x^2 + 2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x$ なので、

$y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 + x) = \frac{d}{dx}(x^3) + 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(x) = 3x^2 + 2(2x) + 1 = 3x^2 + 4x + 1$

または、積の微分公式と合成関数の微分公式を使って解くこともできます。

$y' = (x)'(x+1)^2 + x((x+1)^2)' = 1 \cdot (x+1)^2 + x(2(x+1) \cdot 1) = (x+1)^2 + 2x(x+1) = (x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 2x) = 3x^2 + 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2$

(2) $y' = 0$

(3) $f'(x) = 2x + 4$

(4) $f'(x) = 9x^2 - 4x - 5$

(5) $y' = 8x + 4$

(6) $y' = 3x^2 + 4x + 1$