与えられた積分を計算します。積分は $y = \int \frac{mg}{b}(e^{-\frac{b}{m}t} - 1) dt$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $y = \int \frac{mg}{b}(e^{-\frac{b}{m}t} - 1) dt$ です。

2. 解き方の手順

まず、定数 $\frac{mg}{b}$ を積分の外に出します。

$y = \frac{mg}{b} \int (e^{-\frac{b}{m}t} - 1) dt$

次に、積分を2つの部分に分けます。

$y = \frac{mg}{b} \left( \int e^{-\frac{b}{m}t} dt - \int 1 dt \right)$

1つ目の積分 $\int e^{-\frac{b}{m}t} dt$ を計算します。$-\frac{b}{m}t = u$ と置換すると、$-\frac{b}{m} dt = du$ となり、$dt = -\frac{m}{b} du$ となります。よって、

$\int e^{-\frac{b}{m}t} dt = \int e^u (-\frac{m}{b}) du = -\frac{m}{b} \int e^u du = -\frac{m}{b} e^u + C_1 = -\frac{m}{b} e^{-\frac{b}{m}t} + C_1$

2つ目の積分 $\int 1 dt$ は、$t + C_2$ となります。

これらをまとめると、

$y = \frac{mg}{b} \left( -\frac{m}{b} e^{-\frac{b}{m}t} - t + C \right)$

分配法則を用いて展開します。

$y = -\frac{m^2 g}{b^2} e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b} t + C'$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{m^2 g}{b^2} e^{-\frac{b}{m}t} - \frac{mg}{b} t + C$