与えられた8つの不定積分を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた8つの不定積分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

各積分について、以下の手順で解きます。積分定数は省略します。

(1) $\int (x-1)(x+1) dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

したがって、

$\int (x^2 - 1) dx = \int x^2 dx - \int 1 dx = \frac{x^3}{3} - x$

(2) $\int (e^x - 1) dx$

$\int (e^x - 1) dx = \int e^x dx - \int 1 dx = e^x - x$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$であるから、

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$

(4) $\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

$(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x - 2 + \frac{1}{x}$

したがって、

$\int (x - 2 + \frac{1}{x}) dx = \int x dx - \int 2 dx + \int \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} - 2x + \log|x|$

(5) $\int (\cos x + \sin x) dx$

$\int (\cos x + \sin x) dx = \int \cos x dx + \int \sin x dx = \sin x - \cos x$

(6) $\int (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2 dx$

$(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2 = \cos^2 \frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 + \sin x$

したがって、

$\int (1 + \sin x) dx = \int 1 dx + \int \sin x dx = x - \cos x$

(7) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$

したがって、

$\int \csc^2 x dx = -\cot x$

(8) $\int (\frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 - \sin x}) dx$

$\frac{1}{1 + \sin x} + \frac{1}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin x + 1 + \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{2}{1 - \sin^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x$

したがって、

$\int 2\sec^2 x dx = 2\tan x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} - x$

(2) $e^x - x$

(3) $2\sqrt{x}$

(4) $\frac{x^2}{2} - 2x + \log|x|$

(5) $\sin x - \cos x$

(6) $x - \cos x$

(7) $-\cot x$

(8) $2\tan x$