テイラー展開（またはマクローリン展開）を用いて、オイラーの公式を証明する問題です。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ で表されます。

1. 問題の内容

テイラー展開（またはマクローリン展開）を用いて、オイラーの公式を証明する問題です。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$, $\cos x$, $\sin x$ のマクローリン展開をそれぞれ求めます。マクローリン展開は、テイラー展開の中心を0とした特殊なものです。

* $e^x$ のマクローリン展開：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

* $\cos x$ のマクローリン展開：

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

* $\sin x$ のマクローリン展開：

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

次に、$e^{ix}$ をマクローリン展開します。

$e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots$

ここで、$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$ であることを用いて、式を整理します。

$e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots$

実部と虚部に分けます。

$e^{ix} = (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)$

それぞれの括弧の中身が、$\cos x$ と $\sin x$ のマクローリン展開と一致することに注目します。

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

したがって、オイラーの公式が証明されました。

3. 最終的な答え

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$