問題108では、与えられた関数 $f(x)$ が連続である区間を求める必要があります。 (1) $f(x) = \frac{1}{x}$ (2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$

1. 問題の内容

問題108では、与えられた関数 $f(x)$ が連続である区間を求める必要があります。

(1) $f(x) = \frac{1}{x}$

(2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x}$ の場合:

分数関数が連続であるのは、分母が0にならない範囲です。

$x = 0$ で分母が0になるため、 $x \neq 0$ の範囲で連続です。

したがって、連続である区間は $x < 0$ および $x > 0$ 、つまり $(-\infty, 0)$ と $(0, \infty)$ です。

(2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$ の場合:

分数関数が連続であるのは、分母が0にならない範囲です。

分母 $x^2 - x + 1$ が0になるかどうかを調べます。

判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ であるため、 $x^2 - x + 1 = 0$ となる実数 $x$ は存在しません。

したがって、分母は常に0にならないので、すべての実数 $x$ で連続です。

したがって、連続である区間は $(-\infty, \infty)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{1}{x}$ の連続区間: $(-\infty, 0)$, $(0, \infty)$

(2) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-x+1}$ の連続区間: $(-\infty, \infty)$