複素数平面上で、$z_0 = 1+i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下同様に、$z_n = \alpha z_{n-1}$ $(n=2,3,\dots)$ が表す点を $A_n$ とするとき、$\triangle OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ $(n \ge 1)$ を求め、さらに $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める。ただし、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$z_0 = 1+i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下同様に、$z_n = \alpha z_{n-1}$ $(n=2,3,\dots)$ が表す点を $A_n$ とするとき、$\triangle OA_{n-1}A_n$ の面積 $S_n$ $(n \ge 1)$ を求め、さらに $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める。ただし、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

まず、$z_n$ を求めます。

$z_n = \alpha z_{n-1} = \alpha^2 z_{n-2} = \dots = \alpha^n z_0$ であるから、$z_n = \alpha^n z_0$ となります。

次に、$S_n$ を求めます。

$S_n$ は $\triangle OA_{n-1}A_n$ の面積であり、これは $|z_{n-1}|$ 、 $|z_n|$ と $\angle A_{n-1}OA_n$ から求められます。

$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の絶対値と偏角を求めます。

$|\alpha| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{36} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\arg(\alpha) = \theta$ とすると、$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{6} / \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ 、$\sin\theta = \frac{1}{2} / \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$|z_0| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\arg(z_0) = \frac{\pi}{4}$

$|z_n| = |\alpha^n z_0| = |\alpha|^n |z_0| = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \sqrt{2}$

$\arg(z_n) = \arg(\alpha^n z_0) = n \arg(\alpha) + \arg(z_0) = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin\left(\arg(z_n) - \arg(z_{n-1})\right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n-1} \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n \sqrt{2} \sin\left(\frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - \frac{(n-1)\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n-1} \cdot 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

$S_n = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \frac{1}{2}$

$S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{3}{4}$