与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{-x} dx$ を求めます。

$e^{-x}$ の原始関数は $-e^{-x}$ なので、

$$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$$

次に、広義積分の定義に従い、積分の上限を無限大から有限の値 $t$ に置き換えて、その極限を計算します。

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} dx$$

$$\int_{0}^{t} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{t} = -e^{-t} - (-e^{-0}) = -e^{-t} + 1 = 1 - e^{-t}$$

ここで、$t \to \infty$ の極限を計算します。

$$\lim_{t \to \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - \lim_{t \to \infty} e^{-t} = 1 - 0 = 1$$

3. 最終的な答え

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 1$$