$a > 0$、$p$ は実数であるとき、以下の式を示してください。 $\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1} & (p>1) \\ \text{存在しない} & (p \le 1) \end{cases}$

1. 問題の内容

$a > 0$、$p$ は実数であるとき、以下の式を示してください。

$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1} & (p>1) \\ \text{存在しない} & (p \le 1) \end{cases}$

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \frac{dx}{x^p}$ を計算し、定積分を評価します。

場合1：$p \neq 1$のとき

$\int \frac{dx}{x^p} = \int x^{-p} dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1} + C = \frac{x^{1-p}}{1-p} + C$

したがって、

$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{dx}{x^p} = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{a}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{1-p}}{1-p} - \frac{a^{1-p}}{1-p} \right)$

$p > 1$の場合、$1-p < 0$であるため、$\lim_{b \to \infty} b^{1-p} = 0$となり、

$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = 0 - \frac{a^{1-p}}{1-p} = \frac{a^{1-p}}{p-1}$

$p < 1$の場合、$1-p > 0$であるため、$\lim_{b \to \infty} b^{1-p} = \infty$となり、積分は発散し、存在しません。

場合2：$p = 1$のとき

$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{dx}{x} = \lim_{b \to \infty} [\ln x]_{a}^{b} = \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln a) = \infty$

積分は発散し、存在しません。

まとめると、

$p > 1$ のとき、$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \frac{a^{1-p}}{p-1}$

$p \le 1$ のとき、積分は発散し、存在しません。

3. 最終的な答え

$\int_{a}^{\infty} \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1} & (p>1) \\ \text{存在しない} & (p \le 1) \end{cases}$