関数 $f(x) = \sin{3x} - \sqrt{3}\cos{2x}$ が与えられています。 (1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(0, f(0))$ における接線の方程式を求めます。 (2) $f'(t) = g(\sin{x})\cos{x}$ を満たす $t$ の整式 $g(t)$ を求めます。 (3) $x > 0$ の範囲で、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3$ とするとき、$x_1, x_2, x_3$ を求めます。 (4) $0 \le x \le \pi$ の範囲で、$f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin{3x} - \sqrt{3}\cos{2x}$ が与えられています。

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(0, f(0))$ における接線の方程式を求めます。

(2) $f'(t) = g(\sin{x})\cos{x}$ を満たす $t$ の整式 $g(t)$ を求めます。

(3) $x > 0$ の範囲で、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3$ とするとき、$x_1, x_2, x_3$ を求めます。

(4) $0 \le x \le \pi$ の範囲で、$f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \sin{0} - \sqrt{3}\cos{0} = 0 - \sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3\cos{3x} + 2\sqrt{3}\sin{2x}$

$f'(0)$ を計算します。

$f'(0) = 3\cos{0} + 2\sqrt{3}\sin{0} = 3(1) + 2\sqrt{3}(0) = 3$

したがって、点 $(0, -\sqrt{3})$ における接線の方程式は、

$y - (-\sqrt{3}) = 3(x - 0)$

$y = 3x - \sqrt{3}$

(2) $f'(x) = 3\cos{3x} + 2\sqrt{3}\sin{2x}$ に対して、$x$ を $t$ で置き換えます。

$f'(t) = 3\cos{3t} + 2\sqrt{3}\sin{2t}$

$3\cos{3t} = 3(4\cos^3{t} - 3\cos{t}) = 12\cos^3{t} - 9\cos{t}$

$2\sqrt{3}\sin{2t} = 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{t}$

$f'(t) = 12\cos^3{t} - 9\cos{t} + 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{t}$

$f'(t) = (12\cos^2{t} - 9 + 4\sqrt{3}\sin{t})\cos{t}$

$f'(t) = (12(1 - \sin^2{t}) - 9 + 4\sqrt{3}\sin{t})\cos{t}$

$f'(t) = (12 - 12\sin^2{t} - 9 + 4\sqrt{3}\sin{t})\cos{t}$

$f'(t) = (-12\sin^2{t} + 4\sqrt{3}\sin{t} + 3)\cos{t}$

$f'(t) = g(\sin{t})\cos{t}$ なので、$g(u) = -12u^2 + 4\sqrt{3}u + 3$

(3) $f'(x) = 3\cos{3x} + 2\sqrt{3}\sin{2x} = 0$ を解きます。

$3\cos{3x} + 2\sqrt{3}\sin{2x} = 0$

$x_1 = \frac{\pi}{12}, x_2 = \frac{5\pi}{12}, x_3 = \frac{13\pi}{12}$

(4) $0 \le x \le \pi$ での $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

$f(x) = \sin{3x} - \sqrt{3}\cos{2x}$

$f'(x) = 3\cos{3x} + 2\sqrt{3}\sin{2x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x_1 = \frac{\pi}{12}, x_2 = \frac{5\pi}{12}$

$f(0) = -\sqrt{3}$

$f(\frac{\pi}{12}) = \sin{\frac{\pi}{4}} - \sqrt{3}\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2} \approx -0.79$

$f(\frac{5\pi}{12}) = \sin{\frac{5\pi}{4}} - \sqrt{3}\cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \approx 0.79$

$f(\pi) = \sin{3\pi} - \sqrt{3}\cos{2\pi} = 0 - \sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}$

したがって、最大値は $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$、最小値は $-\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x - \sqrt{3}$

(2) $g(t) = -12t^2 + 4\sqrt{3}t + 3$

(3) $x_1 = \frac{\pi}{12}, x_2 = \frac{5\pi}{12}, x_3 = \frac{13\pi}{12}$

(4) 最大値: $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$, 最小値: $-\sqrt{3}$