与えられた関数 $y = (x-1)^3(x-3)$ のグラフの概形を描きます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1) $y = (x-1)^3(x-3)$、(2) $y = x + \sqrt{2} \sin x \ (0 \leq x \leq 2\pi)$、(3) $y = e^{-x^2}$、(4) $y = (x-1)e^x$、(5) $y = \log(x^2+1)$、(6) $y = \frac{\log x}{x}$、(7) $y = \frac{x^2}{x+1}$、(8) $y = \frac{4x}{x^2+2}$の8つの関数のグラフの概形を描く問題ですね。

(1) $y = (x-1)^3(x-3)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x-1)^3(x-3)$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* $x$切片を求めます。$y=0$ となる $x$ は $x=1$ (3重根)と $x=3$です。

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y=(-1)^3(-3) = 3$です。

* 導関数を計算します。$y' = 3(x-1)^2(x-3) + (x-1)^3 = (x-1)^2 [3(x-3) + (x-1)] = (x-1)^2(4x - 10) = 2(x-1)^2(2x-5)$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x=1$ と $x=5/2$ です。

* 増減表を作成します。

* $x < 1$ のとき、$y' < 0$

* $1 < x < 5/2$ のとき、$y' < 0$

* $x > 5/2$ のとき、$y' > 0$

* $x=1$で傾き0, 停留点。

* $x=5/2$ のとき、$y = (5/2 - 1)^3 (5/2 - 3) = (3/2)^3 (-1/2) = -27/16$

* $x$が大きくなると$y$も大きくなります。

3. 最終的な答え

$x=1$で$x$軸と接する（3重根）、$x=3$で$x$軸を横切る、$y$切片は$3$、$x=5/2$で極小値$-27/16$をとる4次関数のグラフ。

(2) $y = x + \sqrt{2} \sin x \ (0 \leq x \leq 2\pi)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x + \sqrt{2} \sin x$ (定義域 $0 \leq x \leq 2\pi$) のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* 導関数を計算します。$y' = 1 + \sqrt{2} \cos x$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$\cos x = -1/\sqrt{2}$ なので、$x = 3\pi/4, 5\pi/4$

* 2階導関数を計算します。$y'' = -\sqrt{2} \sin x$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$\sin x = 0$ なので、$x = 0, \pi, 2\pi$

* 増減表を作成します。

* $0 < x < 3\pi/4$ のとき、$y' > 0$

* $3\pi/4 < x < 5\pi/4$ のとき、$y' < 0$

* $5\pi/4 < x < 2\pi$ のとき、$y' > 0$

* $x=3\pi/4$のとき極大値 $y=3\pi/4 + \sqrt{2} (\sqrt{2}/2) = 3\pi/4 + 1$

* $x=5\pi/4$のとき極小値 $y=5\pi/4 + \sqrt{2} (-\sqrt{2}/2) = 5\pi/4 - 1$

* 変曲点を求めます。

* $0 < x < \pi$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $\pi < x < 2\pi$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $x=0$のとき $y = 0$

* $x=\pi$のとき $y = \pi$

* $x=2\pi$のとき $y = 2\pi$

3. 最終的な答え

$x=3\pi/4$で極大、$x=5\pi/4$で極小。$x=0, \pi, 2\pi$で変曲点。周期的な振動を持ちながら増加するグラフ。

(3) $y = e^{-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = e^{-x^2}$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y = e^0 = 1$ です。

* $x$切片はありません。

* 導関数を計算します。$y' = -2xe^{-x^2}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x=0$

* 2階導関数を計算します。$y'' = -2e^{-x^2} + 4x^2e^{-x^2} = 2e^{-x^2}(2x^2-1)$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$x = \pm 1/\sqrt{2}$

* 増減表を作成します。

* $x < 0$ のとき、$y' > 0$

* $x > 0$ のとき、$y' < 0$

* $x=0$のとき極大値 $y=1$

* 変曲点を求めます。

* $x < -1/\sqrt{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $-1/\sqrt{2} < x < 1/\sqrt{2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > 1/\sqrt{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

3. 最終的な答え

$y$軸に関して対称で、$x=0$で極大値$1$を持ち、$x = \pm 1/\sqrt{2}$で変曲点を持つ釣鐘型のグラフ。$x$ が大きくなると $y$ は $0$ に近づきます。

(4) $y = (x-1)e^x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x-1)e^x$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* $x$切片を求めます。$y=0$ となる $x$ は $x=1$です。

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y = -1$です。

* 導関数を計算します。$y' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x=0$

* 2階導関数を計算します。$y'' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$x=-1$

* 増減表を作成します。

* $x < 0$ のとき、$y' < 0$

* $x > 0$ のとき、$y' > 0$

* $x=0$のとき極小値 $y = -1$

* 変曲点を求めます。

* $x < -1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > -1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $x=-1$のとき $y=-2/e$

3. 最終的な答え

$x=0$で極小値$-1$、$x=1$で$x$切片、$x=-1$で変曲点 $-2/e$。$x$ が大きくなると $y$ は大きくなり、$x$ が負の方向に大きくなると、$y$ は0に近づきます。

(5) $y = \log(x^2+1)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(x^2+1)$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y = \log(1) = 0$です。

* $x$切片は $x=0$です。

* 導関数を計算します。$y' = \frac{2x}{x^2+1}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x=0$

* 2階導関数を計算します。$y'' = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$x = \pm 1$

* 増減表を作成します。

* $x < 0$ のとき、$y' < 0$

* $x > 0$ のとき、$y' > 0$

* $x=0$のとき極小値 $y=0$

* 変曲点を求めます。

* $x < -1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $-1 < x < 1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $x > 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x = \pm 1$ のとき、$y = \log 2$

3. 最終的な答え

$y$軸に関して対称で、$x=0$で極小値$0$、$x = \pm 1$で変曲点$\log 2$を持つグラフ。

(6) $y = \frac{\log x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x}$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* 定義域は $x > 0$

* $x$切片を求めます。$\log x = 0$ より $x=1$。

* 導関数を計算します。$y' = \frac{\frac{1}{x}x - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$\log x = 1$ より $x=e$

* 2階導関数を計算します。$y'' = \frac{-\frac{1}{x}x^2 - (1-\log x)2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3 + 2\log x}{x^3}$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$\log x = 3/2$ より $x = e^{3/2}$

* 増減表を作成します。

* $0 < x < e$ のとき、$y' > 0$

* $x > e$ のとき、$y' < 0$

* $x=e$のとき極大値 $y = 1/e$

* 変曲点を求めます。

* $0 < x < e^{3/2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > e^{3/2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ (問題文より)

3. 最終的な答え

$x=1$ で $x$ 切片、$x=e$ で極大値 $1/e$、$x = e^{3/2}$ で変曲点。$x \to \infty$ で $y \to 0$。

(7) $y = \frac{x^2}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^2}{x+1}$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* 定義域は $x \neq -1$

* $x$切片を求めます。$x^2 = 0$ より $x=0$。

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y = 0$です。

* 導関数を計算します。$y' = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x=0$ と $x=-2$

* 2階導関数を計算します。$y'' = \frac{(2x+2)(x+1)^2 - 2(x+1)(x^2+2x)}{(x+1)^4} = \frac{(2x+2)(x+1) - 2(x^2+2x)}{(x+1)^3} = \frac{2}{(x+1)^3}$

* $y''=0$ となる $x$ はありません。

* 増減表を作成します。

* $x < -2$ のとき、$y' > 0$

* $-2 < x < -1$ のとき、$y' < 0$

* $-1 < x < 0$ のとき、$y' < 0$

* $x > 0$ のとき、$y' > 0$

* $x=-2$ のとき極大値 $y = -4$

* $x=0$ のとき極小値 $y = 0$

* 変曲点は存在しません。

* 漸近線を求めます。$y = \frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2-1+1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1} = x-1 + \frac{1}{x+1}$ よって、$y = x-1$ が漸近線です。

3. 最終的な答え

$x=-2$ で極大値 $-4$、$x=0$ で極小値 $0$。$x=-1$ で垂直漸近線、$y=x-1$ が斜め漸近線。

(8) $y = \frac{4x}{x^2+2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{4x}{x^2+2}$ のグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

* $y$切片を求めます。$x=0$ とすると $y = 0$です。

* $x$切片は $x=0$です。

* 導関数を計算します。$y' = \frac{4(x^2+2) - 4x(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{8-4x^2}{(x^2+2)^2} = \frac{4(2-x^2)}{(x^2+2)^2}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。$x = \pm \sqrt{2}$

* 2階導関数を計算します。$y'' = \frac{-8x(x^2+2)^2 - 2(x^2+2)(2x)(8-4x^2)}{(x^2+2)^4} = \frac{-8x(x^2+2) - 4x(8-4x^2)}{(x^2+2)^3} = \frac{-8x^3-16x-32x+16x^3}{(x^2+2)^3} = \frac{8x(x^2-6)}{(x^2+2)^3}$

* $y''=0$ となる $x$ を求めます。$x = 0, \pm \sqrt{6}$

* 増減表を作成します。

* $x < -\sqrt{2}$ のとき、$y' < 0$

* $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ のとき、$y' > 0$

* $x > \sqrt{2}$ のとき、$y' < 0$

* $x=-\sqrt{2}$ のとき極小値 $y = -4\sqrt{2}/4 = -\sqrt{2}$

* $x=\sqrt{2}$ のとき極大値 $y = 4\sqrt{2}/4 = \sqrt{2}$

* 変曲点を求めます。

* $x < -\sqrt{6}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $-\sqrt{6} < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $0 < x < \sqrt{6}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > \sqrt{6}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

3. 最終的な答え

原点対称で、$x=-\sqrt{2}$ で極小値 $-\sqrt{2}$、$x=\sqrt{2}$ で極大値 $\sqrt{2}$。$x = 0, \pm \sqrt{6}$ で変曲点。$x \to \pm \infty$ で $y \to 0$。