関数 $f(x) = \sin 3x - \sqrt{3} \cos 2x$ が与えられている。 (1) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0, f(0))$ における接線の方程式を求める。 (2) $f'(x) = g(\sin x) \cos x$ を満たす整式 $g(t)$ を求める。 (3) $x>0$ の範囲で $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3$ とする。$x_1, x_2, x_3$ を求める。 (4) $0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin 3x - \sqrt{3} \cos 2x$ が与えられている。

(1) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(0, f(0))$ における接線の方程式を求める。

(2) $f'(x) = g(\sin x) \cos x$ を満たす整式 $g(t)$ を求める。

(3) $x>0$ の範囲で $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を小さい順に $x_1, x_2, x_3$ とする。$x_1, x_2, x_3$ を求める。

(4) $0 \le x \le \pi$ の範囲で $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(0)$ を計算する。$f(0) = \sin(0) - \sqrt{3} \cos(0) = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

次に、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3\cos 3x + 2\sqrt{3}\sin 2x$

$f'(0)$ を計算する。$f'(0) = 3\cos(0) + 2\sqrt{3}\sin(0) = 3 + 0 = 3$

したがって、接線の方程式は $y - (-\sqrt{3}) = 3(x-0)$ より $y = 3x - \sqrt{3}$

(2) $f'(x) = 3\cos 3x + 2\sqrt{3} \sin 2x = 3(4\cos^3 x - 3\cos x) + 2\sqrt{3} (2\sin x \cos x) = 12 \cos^3 x - 9 \cos x + 4\sqrt{3} \sin x \cos x$.

$f'(x) = g(\sin x) \cos x$ なので、$\cos x$ でくくり出すことを考える。

$f'(x) = \cos x(12\cos^2 x - 9 + 4\sqrt{3} \sin x) = \cos x(12(1-\sin^2 x) - 9 + 4\sqrt{3} \sin x) = \cos x(12 - 12\sin^2 x - 9 + 4\sqrt{3} \sin x) = \cos x (-12\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x + 3)$

したがって、 $g(t) = -12t^2 + 4\sqrt{3} t + 3$

(3) $f'(x) = \cos x (-12\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x + 3) = 0$

$x>0$ より $\cos x = 0$ または $-12\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x + 3 = 0$

$\cos x = 0$ より $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$

$-12\sin^2 x + 4\sqrt{3} \sin x + 3 = 0$ より、 $\sin x = t$ とおくと、

$-12t^2 + 4\sqrt{3} t + 3 = 0$.

$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{16(3) - 4(-12)(3)}}{-24} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48+144}}{-24} = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{192}}{-24} = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{-24} = \frac{-4\sqrt{3} + 8\sqrt{3}}{-24} = \frac{4\sqrt{3}}{-24} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$ または $\frac{-4\sqrt{3} - 8\sqrt{3}}{-24} = \frac{-12\sqrt{3}}{-24} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{6}$ は $x>0$ に解を持たない。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

したがって、$x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{2\pi}{3}$

(4) $0 \le x \le \pi$ で $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

候補は $x=0, \pi/3, \pi/2, 2\pi/3, \pi$

$f(0) = -\sqrt{3}$

$f(\pi/3) = \sin \pi - \sqrt{3}\cos(2\pi/3) = 0 - \sqrt{3}(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(\pi/2) = \sin(3\pi/2) - \sqrt{3}\cos\pi = -1 - \sqrt{3}(-1) = -1 + \sqrt{3}$

$f(2\pi/3) = \sin 2\pi - \sqrt{3} \cos(4\pi/3) = 0 - \sqrt{3}(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(\pi) = \sin 3\pi - \sqrt{3}\cos 2\pi = 0 - \sqrt{3}(1) = -\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$-1+\sqrt{3} \approx 0.732$

最大値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 最小値は $-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x - \sqrt{3}$

(2) $g(t) = -12t^2 + 4\sqrt{3}t + 3$

(3) $x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{2\pi}{3}$

(4) 最大値: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 最小値: $-\sqrt{3}$