次の和を求めます。 $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。一般項は $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$ なので、これに $\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} \cdot \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-(k+1)} = \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

これは望遠鏡和（telescoping sum）なので、隣り合う項が打ち消し合って、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1}-1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1}-1$