次の関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = (x-1)^3(x-3)$ (2) $y = x + \sqrt{2}\sin x \ (0 \leq x \leq 2\pi)$ (3) $y = e^{-x^2}$ (4) $y = (x-1)e^x$ (5) $y = \log(x^2 + 1)$ (6) $y = \frac{\log x}{x}$ (7) $y = \frac{x^2}{x+1}$ (8) $y = \frac{4x}{x^2 + 2}$ ただし、(4)では $\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0$, (6)では $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いて良い。 ## 解き方の手順 それぞれの関数について、以下の手順でグラフの概形を描きます。 1. 定義域を確認する。

## 数学の問題

1. 問題の内容

次の関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = (x-1)^3(x-3)$

(2) $y = x + \sqrt{2}\sin x \ (0 \leq x \leq 2\pi)$

(3) $y = e^{-x^2}$

(4) $y = (x-1)e^x$

(5) $y = \log(x^2 + 1)$

(6) $y = \frac{\log x}{x}$

(7) $y = \frac{x^2}{x+1}$

(8) $y = \frac{4x}{x^2 + 2}$

ただし、(4)では $\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0$, (6)では $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いて良い。

## 解き方の手順

それぞれの関数について、以下の手順でグラフの概形を描きます。

1. 定義域を確認する。

2. $x$軸、 $y$軸との交点を求める。

3. 関数の対称性（偶関数、奇関数）を調べる。

4. 極値、増減を調べる ($y' = 0$ となる $x$を求める)。

5. 凹凸、変曲点を調べる ($y'' = 0$ となる $x$を求める)。

6. 漸近線を調べる。

7. 上記の情報を基にグラフを描く。

以下に個別の関数のグラフ概形に必要な情報を記述します。

**(1) $y = (x-1)^3(x-3)$**

* $y' = (x-1)^2 (4x-6) = 2(x-1)^2(2x-3)$

* $y'' = 12(x-1)(x-2)$

**(2) $y = x + \sqrt{2}\sin x \ (0 \leq x \leq 2\pi)$**

* $y' = 1 + \sqrt{2}\cos x$

* $y'' = -\sqrt{2}\sin x$

**(3) $y = e^{-x^2}$**

* $y' = -2xe^{-x^2}$

* $y'' = (4x^2 - 2)e^{-x^2}$

**(4) $y = (x-1)e^x$**

* $y' = xe^x$

* $y'' = (x+1)e^x$

* $\lim_{x\to -\infty} (x-1)e^x = 0$ (与えられた条件 $\lim_{x\to -\infty} xe^x = 0$ より)

**(5) $y = \log(x^2 + 1)$**

* $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

* $y'' = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2+1)^2}$

**(6) $y = \frac{\log x}{x}$**

* $y' = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y'' = \frac{2\log x - 3}{x^3}$

* $\lim_{x\to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ (与えられた条件)

**(7) $y = \frac{x^2}{x+1}$**

* $y = x - 1 + \frac{1}{x+1}$ (割り算を実行)

* $y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$

* $y'' = \frac{2}{(x+1)^3}$

**(8) $y = \frac{4x}{x^2 + 2}$**

* $y' = \frac{-4x^2 + 8}{(x^2 + 2)^2}$

* $y'' = \frac{16x^3 - 96x}{(x^2 + 2)^3}$

## 最終的な答え

個々の関数のグラフの概形を描くためには上記の微分などの情報を基に増減表を作成し、グラフの主要な特徴（極値、変曲点、漸近線）を特定する必要があります。 実際にグラフを描画する際には、コンピュータのグラフ描画ソフトや手計算で点をプロットしていくことで概形を得ることができます。 ここでは、それぞれの関数の具体的なグラフの図示は省略します。