広義積分 $\int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p}$ ($a < b$) の収束・発散を調べる。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p}$ ($a < b$) の収束・発散を調べる。

2. 解き方の手順

$I = \int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p}$ を考える。

$b-x = t$ と置換すると、$dx = -dt$ であり、$x = a$ のとき $t = b-a$、$x = b$ のとき $t = 0$ となる。

したがって、

$I = \int_{b-a}^0 \frac{-dt}{t^p} = \int_0^{b-a} \frac{dt}{t^p}$ となる。

この広義積分を評価するために、積分区間を $[ \epsilon, b-a ]$ とし、$\epsilon \to 0$ の極限を考える。

$I = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^{b-a} t^{-p} dt$

$p \neq 1$ の場合、

$\int_\epsilon^{b-a} t^{-p} dt = \left[ \frac{t^{1-p}}{1-p} \right]_\epsilon^{b-a} = \frac{(b-a)^{1-p}}{1-p} - \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p}$

$p = 1$ の場合、

$\int_\epsilon^{b-a} t^{-1} dt = \left[ \log t \right]_\epsilon^{b-a} = \log(b-a) - \log \epsilon$

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p}$ について:

- $1-p > 0$ つまり $p < 1$ のとき、$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p} = 0$

- $1-p < 0$ つまり $p > 1$ のとき、$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^{1-p}}{1-p} = \pm \infty$

$\lim_{\epsilon \to 0} \log(b-a) - \log \epsilon$ について:

- $\lim_{\epsilon \to 0} \log(b-a) - \log \epsilon = \infty$

したがって、

- $p < 1$ のとき、積分は収束し、$\int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p} = \frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}$

- $p \geq 1$ のとき、積分は発散する。

3. 最終的な答え

- $p < 1$ のとき収束し、$\int_a^b \frac{dx}{(b-x)^p} = \frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}$

- $p \geq 1$ のとき発散する。