複素積分 $\oint_C \bar{z} dz$ を計算します。積分路 $C$ は $|z| = 1$ で定義される単位円であり、正の向き（反時計回り）です。

解析学複素積分複素数積分路線積分

2025/6/24

1. 問題の内容

複素積分

\oint_C \bar{z} dz

を計算します。積分路

C

は

|z| = 1

で定義される単位円であり、正の向き（反時計回り）です。

2. 解き方の手順

まず、積分路

C

をパラメータ表示します。

z = e^{it}

とおくと、

0 \le t \le 2\pi

であり、

dz = i e^{it} dt

となります。

\bar{z}

は

z

の複素共役なので、

\bar{z} = e^{-it}

です。したがって、積分は次のようになります。

\oint_C \bar{z} dz = \int_0^{2\pi} e^{-it} (ie^{it}) dt = i \int_0^{2\pi} 1 dt = i [t]_0^{2\pi} = i(2\pi - 0) = 2\pi i

3. 最終的な答え

2 \pi i

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