次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta$

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。

$t = \tan(\frac{\theta}{2})$ とおくと、$d\theta = \frac{2}{1+t^2}dt$ および $\cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ となります。

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、$t$ は $-\infty$ から $\infty$ へ変化します。

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\frac{1-t^2+2(1+t^2)}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1+t^2}{1-t^2+2+2t^2} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{t^2+3} dt$

$= 2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t^2+3} dt$

$t = \sqrt{3} u$ とおくと、$dt = \sqrt{3} du$ となり、

$2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{t^2+3} dt = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{3u^2+3} \sqrt{3} du$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u^2+1} du$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} [\arctan(u)]_{-\infty}^{\infty}$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}))$

$= \frac{2\sqrt{3}}{3} \pi$

$= \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$