次の定積分を計算する問題です。 $$ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta $$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$$$$

\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta

$$$$

2. 解き方の手順

まず、$z = e^{i\theta}$ とおくことにより、$\cos\theta$ を $z$ で表し、積分を複素積分に変換します。このとき、$dz = i e^{i\theta} d\theta = i z d\theta$ より、$d\theta = \frac{dz}{iz}$ となります。

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}$ であるから、積分は次のようになります。

$$$$

\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\cos\theta + 2} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z + z^{-1}}{2} + 2} \frac{dz}{iz}

$$$$

これを整理すると、

$$$$

\oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z + z^{-1}}{2} + 2} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z^2 + 1 + 4z}{2z}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2z}{z^2 + 4z + 1} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{i(z^2 + 4z + 1)} dz = \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + 4z + 1} dz

$$$$

ここで、$f(z) = \frac{1}{z^2 + 4z + 1}$ の特異点を求めます。

$z^2 + 4z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$ です。

$z_1 = -2 + \sqrt{3}$ と $z_2 = -2 - \sqrt{3}$ はどちらも特異点ですが、$|z_1| = |-2 + \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} < 1$ であり、$|z_2| = |-2 - \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} > 1$ であるため、$z_1 = -2 + \sqrt{3}$ のみが $|z| = 1$ の内部にあります。

留数定理より、

$$$$

\oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + 4z + 1} dz = 2\pi i \operatorname{Res}(f, -2 + \sqrt{3})

$$$$

留数を計算します。

$$$$

\operatorname{Res}(f, -2 + \sqrt{3}) = \lim_{z \to -2 + \sqrt{3}} (z - (-2 + \sqrt{3})) \frac{1}{(z - (-2 + \sqrt{3}))(z - (-2 - \sqrt{3}))} = \lim_{z \to -2 + \sqrt{3}} \frac{1}{z - (-2 - \sqrt{3})} = \frac{1}{(-2 + \sqrt{3}) - (-2 - \sqrt{3})} = \frac{1}{2\sqrt{3}}

$$$$

したがって、

$$$$

\oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + 4z + 1} dz = 2\pi i \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi i}{\sqrt{3}}

$$$$

元の積分に戻すと、

$$$$

\frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2 + 4z + 1} dz = \frac{2}{i} \frac{\pi i}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{3}

$$$$

3. 最終的な答え

$$$$

\frac{2\pi}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{3}

$$$$