問題は、テイラー展開（またはマクローリン展開）を用いて、オイラーの公式を証明することです。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ で表されます。

1. 問題の内容

問題は、テイラー展開（またはマクローリン展開）を用いて、オイラーの公式を証明することです。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$, $\cos x$, $\sin x$ のマクローリン展開を求めます。

$e^x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

次に、$\cos x$ のマクローリン展開を求めます。

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

そして、$\sin x$ のマクローリン展開を求めます。

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

ここで、$e^{ix}$ のマクローリン展開を考えます。$e^x$ の展開に $ix$ を代入すると、

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \dots$

$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ であることを利用して、$e^{ix}$ の展開を実部と虚部に分けます。

$e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \dots$

$e^{ix} = (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) + i(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)$

括弧の中身はそれぞれ $\cos x$ と $\sin x$ のマクローリン展開に一致するので、

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

これでオイラーの公式が証明されました。

3. 最終的な答え

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$