関数 $y = f(x)$ が点 $(1, 4)$ を通り、点 $(a, f(a))$ における接線の傾きが $4a^3 - a^2$ であるとき、関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x)$ が点 $(1, 4)$ を通り、点 $(a, f(a))$ における接線の傾きが $4a^3 - a^2$ であるとき、関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、接線の傾きは導関数 $f'(x)$ で表されるので、

$f'(x) = 4x^3 - x^2$

となる。

次に、$f(x)$ を求めるために、$f'(x)$ を積分する。

$\int f'(x) dx = \int (4x^3 - x^2) dx$

$\int 4x^3 dx = x^4 + C_1$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_2$

したがって、

$f(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + C$ （$C$ は積分定数）

問題文より、$f(x)$ は点 $(1, 4)$ を通るので、$f(1) = 4$ である。

これを $f(x)$ に代入して、$C$ を求める。

$f(1) = 1^4 - \frac{1}{3}(1)^3 + C = 1 - \frac{1}{3} + C = \frac{2}{3} + C = 4$

$C = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

したがって、$f(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{10}{3}$