$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解き、一般解を求めよ。 (1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解き、一般解を求めよ。

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ の場合

まず、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\sin \theta$ が負の値になるのは、第3象限と第4象限です。$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であることを利用すると、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ が解となります。

一般解は、$n$ を整数として、$\theta = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$, $\theta = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ です。

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合

まず、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\cos \theta$ が正の値になるのは、第1象限と第4象限です。$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用すると、

$\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ が解となります。

一般解は、$n$ を整数として、$\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$, $\theta = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ です。

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$ の場合

まず、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求めます。$\tan \theta$ が負の値になるのは、第2象限と第4象限です。$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ であることを利用すると、

$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ が解となります。

一般解は、$n$ を整数として、$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき)

一般解: $\theta = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$, $\theta = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ ( $n$ は整数)

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき)

一般解: $\theta = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$, $\theta = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$ ( $n$ は整数)

(3) $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ (ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ のとき)

一般解: $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ ( $n$ は整数)