$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), $\sin \beta = \frac{1}{3}$ ($\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$) のとき、$\sin(\alpha + \beta)$, $\cos(\alpha - \beta)$, $\tan(\alpha - \beta)$ の値を求める問題です。

解析学三角関数加法定理三角関数の値
2025/6/24

1. 問題の内容

sinα=12\sin \alpha = \frac{1}{2} (0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}), sinβ=13\sin \beta = \frac{1}{3} (π2<β<π\frac{\pi}{2} < \beta < \pi) のとき、sin(α+β)\sin(\alpha + \beta), cos(αβ)\cos(\alpha - \beta), tan(αβ)\tan(\alpha - \beta) の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、cosα\cos \alphacosβ\cos \beta を求めます。
α\alpha は第1象限の角なので、cosα>0\cos \alpha > 0 です。
β\beta は第2象限の角なので、cosβ<0\cos \beta < 0 です。
cos2α+sin2α=1\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 より、
cos2α=1sin2α=1(12)2=114=34\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
cosα=34=32\cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos2β+sin2β=1\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 より、
cos2β=1sin2β=1(13)2=119=89\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
cosβ=89=223\cos \beta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
次に、sin(α+β)\sin(\alpha + \beta), cos(αβ)\cos(\alpha - \beta), tan(αβ)\tan(\alpha - \beta) を加法定理を用いて計算します。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(12)(223)+(32)(13)=23+36=22+36=3226\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = (\frac{1}{2})(-\frac{2\sqrt{2}}{3}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{-\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{6}
cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=(32)(223)+(12)(13)=63+16=26+16=1266\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{2\sqrt{2}}{3}) + (\frac{1}{2})(\frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{1}{6} = \frac{-2\sqrt{6} + 1}{6} = \frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}
tan(αβ)=tanαtanβ1+tanαtanβ\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
tanα=sinαcosα=1/23/2=13=33\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
tanβ=sinβcosβ=1/322/3=122=24\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}
tan(αβ)=33(24)1+(33)(24)=43+32121612=43+32126=(43+32)(12+6)(126)(12+6)=483+122+362+631446=543+482138=273+24269\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} - (-\frac{\sqrt{2}}{4})}{1 + (\frac{\sqrt{3}}{3})(-\frac{\sqrt{2}}{4})} = \frac{\frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{12}}{1 - \frac{\sqrt{6}}{12}} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{12 - \sqrt{6}} = \frac{(4\sqrt{3} + 3\sqrt{2})(12 + \sqrt{6})}{(12 - \sqrt{6})(12 + \sqrt{6})} = \frac{48\sqrt{3} + 12\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{144 - 6} = \frac{54\sqrt{3} + 48\sqrt{2}}{138} = \frac{27\sqrt{3} + 24\sqrt{2}}{69}

3. 最終的な答え

sin(α+β)=3226\sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{6}
cos(αβ)=1266\cos(\alpha - \beta) = \frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}
tan(αβ)=273+24269\tan(\alpha - \beta) = \frac{27\sqrt{3} + 24\sqrt{2}}{69}

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