$x^2 + y^2 = 9$ で定義される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 9$ で定義される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $x^2 + y^2 = 9$ を $x$ について陰関数微分する。

$x$ について微分すると、

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(9)$

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$2y\frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

## 問題4 (2)

1. 問題の内容

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ で定義される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ を $x$ について陰関数微分する。

$x$ について微分すると、

$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{4}) + \frac{d}{dx}(\frac{y^2}{9}) = \frac{d}{dx}(1)$

$\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2} \cdot \frac{9}{2y}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{4y}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{4y}$

## 問題5 (1)

1. 問題の内容

$x = 3t^3$, $y = 3t + 5$ で表される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表せ。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いる。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求める。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3) = 9t^2$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3t + 5) = 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{9t^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3t^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3t^2}$

## 問題5 (2)

1. 問題の内容

$x = \cos t$, $y = \sin t$ で表される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表せ。

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用いる。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求める。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t}$

$\frac{dy}{dx} = -\cot t$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\cot t$