曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 4\sin\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 4\sin\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は、積分を用いて求めることができます。

まず、$dx$ を $\theta$ で表します。$x = 3\cos\theta$ を $\theta$ で微分すると、

$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin\theta$

したがって、

$dx = -3\sin\theta \, d\theta$

次に、$\theta$ の範囲を確認します。$0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、$y = 4\sin\theta \geq 0$ となります。$x$軸との交点は $y=0$ となる点なので、$4\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ と $\theta = \pi$ が求まります。

面積 $S$ は次の積分で表されます。

$S = \int_{x_1}^{x_2} y \, dx$

$\theta$ の範囲で積分すると、

$S = \int_{\pi}^{0} 4\sin\theta (-3\sin\theta) \, d\theta = -12 \int_{\pi}^{0} \sin^2\theta \, d\theta$

積分区間を反転させると、

$S = 12 \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta \, d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$S = 12 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 6 \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta$

$S = 6 \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\pi} = 6 \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0)) \right]$

$S = 6 (\pi - 0 - 0 + 0) = 6\pi$

3. 最終的な答え

$6\pi$