与えられた関数 $f(x, y)$ に対し、方向微分 $g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y)$ および $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を考える。 (1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求める。ただし、$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能である。 (2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ および $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求める。 (3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ に対し、方向微分 $g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y)$ および $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を考える。

(1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求める。ただし、$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能である。

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ および $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求める。

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求める。

$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であるから、

$\frac{\partial f}{\partial l_\theta}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t \cos \theta, 0 + t \sin \theta) - f(0, 0)}{t}$

$f(0, 0) = 0$ であるから、

$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta)}{t}$

$f(x, y) = \frac{2x^3 y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3$ より、

$f(t \cos \theta, t \sin \theta) = \frac{2t^4 \cos^3 \theta \sin \theta - 3t^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{t^2 \cos^2 \theta + t^2 \sin^2 \theta} + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta = 2t^2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3t^2 \cos \theta \sin^3 \theta + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta$

$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{t \to 0} \frac{2t^2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3t^2 \cos \theta \sin^3 \theta + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{t} = \lim_{t \to 0} (2t \cos^3 \theta \sin \theta - 3t \cos \theta \sin^3 \theta + t^3 \cos \theta \sin^3 \theta) = 0$

したがって、$g_1(0, 0; \theta) = 0$。

(2) $g_2(0, 0; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(0, 0; \theta)$ を求める。

$g_2(0, 0; \theta, \phi) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos \phi, t \sin \phi; \theta) - g_1(0, 0; \theta)}{t}$

$g_1(0, 0; \theta) = 0$ より、

$g_2(0, 0; \theta, \phi) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos \phi, t \sin \phi; \theta)}{t}$

ここで、$g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y)$ を求める必要がある。しかし、$f(x,y)$を$l_\theta$で偏微分するのは困難である。そこで、$g_1(0,0;\theta)=0$であることと、$g_2(0,0;\theta,\phi)$を求める際に$(x,y)=(0,0)$における方向微分を用いることを利用する。

問題文の関数$f(x,y)$より、$g_1(x,y;\theta) = \cos\theta \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \sin\theta \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

(a) $\theta = 0, \phi = \pi/2$ の場合:

$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos(\pi/2), t \sin(\pi/2); 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(0, t; 0)}{t}$

$g_1(0, t; 0) = \cos 0 \frac{\partial f}{\partial x}(0, t) + \sin 0 \frac{\partial f}{\partial y}(0, t) = \frac{\partial f}{\partial x}(0, t)$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, t) - f(0, t)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2h^3 t - 3ht^3}{h^2 + t^2} + ht^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 t - 3t^3}{h^2 + t^2} + t^3 = \frac{-3t^3}{t^2} + t^3 = -3t + t^3$

$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = \lim_{t \to 0} \frac{-3t + t^3}{t} = \lim_{t \to 0} (-3 + t^2) = -3$

(b) $\theta = \pi/2, \phi = 0$ の場合:

$g_2(0, 0; \pi/2, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos 0, t \sin 0; \pi/2)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t, 0; \pi/2)}{t}$

$g_1(t, 0; \pi/2) = \cos(\pi/2) \frac{\partial f}{\partial x}(t, 0) + \sin(\pi/2) \frac{\partial f}{\partial y}(t, 0) = \frac{\partial f}{\partial y}(t, 0)$

$\frac{\partial f}{\partial y}(t, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t, h) - f(t, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2t^3 h - 3th^3}{t^2 + h^2} + th^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2t^3 - 3th^2}{t^2 + h^2} + th^2 = \frac{2t^3}{t^2} = 2t$

$g_2(0, 0; \pi/2, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{2t}{t} = 2$

(3) $\theta = \pi/4, \phi = \pi/4$ の場合:

$g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos(\pi/4), t \sin(\pi/4); \pi/4)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t/\sqrt{2}, t/\sqrt{2}; \pi/4)}{t}$

$g_1(x,y;\pi/4) = \cos(\pi/4) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \sin(\pi/4) \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y))$

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{(6x^2y-3y^3)(x^2+y^2) - (2x^3y-3xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} + 3x^2y^3$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{(2x^3-9xy^2)(x^2+y^2) - (2x^3y-3xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$\frac{\partial f}{\partial x}(t/\sqrt{2},t/\sqrt{2}) = \frac{(6(t^2/2)t/\sqrt{2}-3(t^3/2\sqrt{2}))(t^2) - (2(t^4/2\sqrt{2})-3t^4/2\sqrt{2})(2t/\sqrt{2})}{t^4} + 3(t^4/4)$

$= \frac{((3/{\sqrt{2}})t^3 - (3/2\sqrt{2})t^3)t^2 - ((1/{\sqrt{2}})t^4 - (3/2\sqrt{2})t^4)(2t/\sqrt{2})}{t^4} + (3/4)t^4 = \frac{(3/2\sqrt{2})t^5 - (-1/\sqrt{2})t^4 (2t/\sqrt{2})}{t^4} + (3/4)t^4 = \frac{(3/2\sqrt{2})t^5 + (1/\sqrt{2}) t^4 (2t/\sqrt{2})}{t^4} = (\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2})t = (\frac{3}{2\sqrt{2}} + 1)t$

$g_2(0,0;\pi/4,\pi/4) = -1/2$.

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0, 0; \theta) = 0$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = -3$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 2$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = -1/2$