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曲線 $y = x^2 + 4x + 1$ と x 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

解析学積分定積分面積二次関数
2025/6/26

1. 問題の内容

曲線 y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1 と x 軸で囲まれた部分の面積 SS を求めます。

2. 解き方の手順

まず、y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1 と x 軸の交点を求めます。
x2+4x+1=0x^2 + 4x + 1 = 0 を解くために、解の公式を使います。
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
ここで、a=1,b=4,c=1a = 1, b = 4, c = 1 なので、
x=−4±42−4(1)(1)2(1)x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}
x=−4±16−42x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}
x=−4±122x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}
x=−4±232x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}
x=−2±3x = -2 \pm \sqrt{3}
したがって、交点は x=−2−3x = -2 - \sqrt{3} と x=−2+3x = -2 + \sqrt{3} です。
曲線 y=x2+4x+1y = x^2 + 4x + 1 と x 軸で囲まれた部分の面積 SS は、
S=−∫−2−3−2+3(x2+4x+1)dxS = -\int_{-2-\sqrt{3}}^{-2+\sqrt{3}} (x^2 + 4x + 1) dx
S=−[13x3+2x2+x]−2−3−2+3S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{-2-\sqrt{3}}^{-2+\sqrt{3}}
S=−{(13(−2+3)3+2(−2+3)2+(−2+3))−(13(−2−3)3+2(−2−3)2+(−2−3))}S = - \left\{ \left( \frac{1}{3}(-2+\sqrt{3})^3 + 2(-2+\sqrt{3})^2 + (-2+\sqrt{3}) \right) - \left( \frac{1}{3}(-2-\sqrt{3})^3 + 2(-2-\sqrt{3})^2 + (-2-\sqrt{3}) \right) \right\}
ここで、(−2+3)2=4−43+3=7−43(-2+\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}
(−2−3)2=4+43+3=7+43(-2-\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}
(−2+3)3=(−2+3)(7−43)=−14+83+73−12=−26+153(-2+\sqrt{3})^3 = (-2+\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = -14 + 8\sqrt{3} + 7\sqrt{3} - 12 = -26 + 15\sqrt{3}
(−2−3)3=(−2−3)(7+43)=−14−83−73−12=−26−153(-2-\sqrt{3})^3 = (-2-\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = -14 - 8\sqrt{3} - 7\sqrt{3} - 12 = -26 - 15\sqrt{3}
S=−{(13(−26+153)+2(7−43)+(−2+3))−(13(−26−153)+2(7+43)+(−2−3))}S = - \left\{ \left( \frac{1}{3}(-26 + 15\sqrt{3}) + 2(7 - 4\sqrt{3}) + (-2+\sqrt{3}) \right) - \left( \frac{1}{3}(-26 - 15\sqrt{3}) + 2(7 + 4\sqrt{3}) + (-2-\sqrt{3}) \right) \right\}
S=−{(−26+1533+14−83−2+3)−(−26−1533+14+83−2−3)}S = - \left\{ \left( \frac{-26 + 15\sqrt{3}}{3} + 14 - 8\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} \right) - \left( \frac{-26 - 15\sqrt{3}}{3} + 14 + 8\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} \right) \right\}
S=−{(−26+1533+12−73)−(−26−1533+12+73)}S = - \left\{ \left( \frac{-26 + 15\sqrt{3}}{3} + 12 - 7\sqrt{3} \right) - \left( \frac{-26 - 15\sqrt{3}}{3} + 12 + 7\sqrt{3} \right) \right\}
S=−{−26+1533+12−73−−26−1533−12−73}S = - \left\{ \frac{-26 + 15\sqrt{3}}{3} + 12 - 7\sqrt{3} - \frac{-26 - 15\sqrt{3}}{3} - 12 - 7\sqrt{3} \right\}
S=−{−26+153+26+1533−143}S = - \left\{ \frac{-26 + 15\sqrt{3} + 26 + 15\sqrt{3}}{3} - 14\sqrt{3} \right\}
S=−{3033−143}S = - \left\{ \frac{30\sqrt{3}}{3} - 14\sqrt{3} \right\}
S=−{103−143}S = - \left\{ 10\sqrt{3} - 14\sqrt{3} \right\}
S=−{−43}S = - \left\{ -4\sqrt{3} \right\}
S=43S = 4\sqrt{3}

3. 最終的な答え

S=1633S = \frac{16\sqrt{3}}{3}
x^2 + 4x + 1 = (x+2)^2 - 3
交点は x = -2 ± √3
S = -∫(-2-√3から-2+√3) (x^2 + 4x + 1) dx = -[x^3/3 + 2x^2 + x](-2-√3から-2+√3)
= 16√3 / 3

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