曲線 $y = x^2 + x - 1$ と x軸で囲まれた部分の面積 S を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x - 1$ と x軸で囲まれた部分の面積 S を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2 + x - 1$ と x軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$x^2 + x - 1 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = 1, c = -1$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、交点は $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ です。

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ の範囲で、$x^2 + x - 1$ は負の値を取ります。

したがって、面積 S は次の定積分で計算できます。

$S = -\int_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} (x^2 + x - 1) dx$

$S = - [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x]_{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

$S = - [\frac{1}{3}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^3 + \frac{1}{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) - \{\frac{1}{3}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^3 + \frac{1}{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\}]$

$S = \frac{5\sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{5\sqrt{5}}{6}$