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定積分 $\int_{0}^{1} (2x-1)^2 dx$ の値を求めます。

解析学定積分積分多項式計算
2025/6/27

1. 問題の内容

定積分 ∫01(2x−1)2dx\int_{0}^{1} (2x-1)^2 dx の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、(2x−1)2(2x-1)^2 を展開します。
(2x−1)2=(2x)2−2(2x)(1)+12=4x2−4x+1(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1
次に、展開した式を積分します。
∫(4x2−4x+1)dx=43x3−2x2+x+C\int (4x^2 - 4x + 1) dx = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C
定積分なので、積分範囲 00 から 11 までの値を計算します。
∫01(4x2−4x+1)dx=[43x3−2x2+x]01\int_{0}^{1} (4x^2 - 4x + 1) dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x \right]_0^1
x=1x = 1 のとき、43(1)3−2(1)2+1=43−2+1=43−1=43−33=13\frac{4}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 1 = \frac{4}{3} - 2 + 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}
x=0x = 0 のとき、43(0)3−2(0)2+0=0\frac{4}{3}(0)^3 - 2(0)^2 + 0 = 0
したがって、∫01(2x−1)2dx=13−0=13\int_{0}^{1} (2x-1)^2 dx = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}

3. 最終的な答え

1/3

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