$\int (x^3 + x) dx = \frac{1}{4}x^4 + ax^2 + C$ の式の $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\int (x^3 + x) dx = \frac{1}{4}x^4 + ax^2 + C$ の式の $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、左辺の積分を計算します。

$\int (x^3 + x) dx = \int x^3 dx + \int x dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C_1$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

したがって、

$\int (x^3 + x) dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2$)

与えられた式と比較すると、

$\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{4}x^4 + ax^2 + C$

$x^2$ の係数を比較すると、

$\frac{1}{2} = a$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$