定積分 $\int_{-2}^{-1} (x^3 + x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x^3 + x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。

$\int (x^3 + x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C$ （$C$ は積分定数）

次に、定積分の値を求めます。

$\int_{-2}^{-1} (x^3 + x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{-1}$

$= \left( \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} + \frac{(-2)^2}{2} \right)$

$= \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{16}{4} + \frac{4}{2} \right)$

$= \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} \right) - \left( 4 + 2 \right)$

$= \frac{3}{4} - 6$

$= \frac{3}{4} - \frac{24}{4}$

$= -\frac{21}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{21}{4}$