不定積分 $\int (1 - 2x + 3x^2) dx = x + ax^2 + x^3 + C$ が与えられたとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (1 - 2x + 3x^2) dx = x + ax^2 + x^3 + C$ が与えられたとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の不定積分を計算します。

$\int (1 - 2x + 3x^2) dx = \int 1 dx - 2 \int x dx + 3 \int x^2 dx$

各項を積分すると、

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_3$

これらを代入すると、

$\int (1 - 2x + 3x^2) dx = x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

$= x - x^2 + x^3 + C$

ここで、$C = C_1 - 2C_2 + 3C_3$ としました。

与えられた式 $\int (1 - 2x + 3x^2) dx = x + ax^2 + x^3 + C$ と比較すると、

$x - x^2 + x^3 + C = x + ax^2 + x^3 + C$

両辺の係数を比較すると、$x^2$ の係数は $-1 = a$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$