(1) $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問題を解きます。 (a) $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ について、$\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。 (c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求めます。 (2) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$x$ 軸との角度が $\varphi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求めます。 (3) $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の問題を解きます。 (a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求めます。 (b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求めます。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とします。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問題を解きます。

(a) $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ について、$\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ とその方向微分係数を求めます。

(2) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$x$ 軸との角度が $\varphi$ である方向 $l$ の方向微分係数を求めます。

(3) $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の問題を解きます。

(a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求めます。

(b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$ となる方向 $l$ を求めます。ただし、$(a, b) \neq (0, 0)$ とします。

2. 解き方の手順

(1)

(a) まず、勾配ベクトル $\nabla f$ を計算します。

$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$ です。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 2z$

したがって、$\nabla f = (2x + 3y, 3x + 4y, 2z)$ となります。

$\nabla f(1, 0, 1) = (2(1) + 3(0), 3(1) + 4(0), 2(1)) = (2, 3, 2)$

(b) 方向ベクトル $e = (1, 2, 3)$ を単位ベクトルに変換します。

$|e| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

単位ベクトル $\hat{e} = (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}})$

方向微分は $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \nabla f(1, 0, 1) \cdot \hat{e} = (2, 3, 2) \cdot (\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}) = \frac{2 + 6 + 6}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向は、勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$ の方向です。

単位ベクトル $l = \frac{\nabla f(1, 0, 1)}{|\nabla f(1, 0, 1)|} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{4 + 9 + 4}} = \frac{(2, 3, 2)}{\sqrt{17}} = (\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}})$

方向微分係数は $|\nabla f(1, 0, 1)| = \sqrt{17}$

(2)

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$\nabla r = (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$

$x$ 軸との角度が $\varphi$ である方向の単位ベクトル $l = (\cos \varphi, \sin \varphi)$

方向微分係数は $\frac{\partial r}{\partial l} = \nabla r \cdot l = \frac{x \cos \varphi + y \sin \varphi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(3)

(a) $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$

$\text{grad} f = \nabla f = (-\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2})$

(b) $\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = 0$

$l = (l_1, l_2)$ を単位ベクトルとします。

$\frac{\partial f}{\partial l}(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot l = (-\frac{2a}{(a^2 + b^2)^2}, -\frac{2b}{(a^2 + b^2)^2}) \cdot (l_1, l_2) = 0$

$-\frac{2a l_1}{(a^2 + b^2)^2} - \frac{2b l_2}{(a^2 + b^2)^2} = 0$

$al_1 + bl_2 = 0$

$l_1 = \frac{-b l_2}{a}$

$l = (\frac{-b l_2}{a}, l_2)$

$l_1^2 + l_2^2 = 1$ なので、$(\frac{-b l_2}{a})^2 + l_2^2 = 1$

$\frac{b^2 l_2^2}{a^2} + l_2^2 = 1$

$l_2^2 (\frac{b^2}{a^2} + 1) = 1$

$l_2^2 (\frac{b^2 + a^2}{a^2}) = 1$

$l_2^2 = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$

$l_2 = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$l_1 = \mp \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

したがって、 $l = (\mp \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})$

3. 最終的な答え

(1)

(a) $\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \sqrt{14}$

(c) $l = (\frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}})$, 方向微分係数 = $\sqrt{17}$

(2) $\frac{\partial r}{\partial l} = \frac{x \cos \varphi + y \sin \varphi}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

(3)

(a) $\text{grad} f = (-\frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2})$

(b) $l = (\mp \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})$