与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、次の和を計算します。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、次の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$

2. 解き方の手順

まず、和の各項を有理化します。分母の $\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}$ に対して、$\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

したがって、元の和は以下のように変形できます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$

この和は、以下のように書き下すと、隣り合う項が打ち消しあう望遠鏡和(telescoping sum)であることがわかります。

$(\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

打ち消し合う項を消していくと、結局、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$