与えられた定積分を計算します。積分範囲は$2/3$から$1$で、被積分関数は$x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$です。 つまり、 $\int_{2/3}^{1} (x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}) dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分範囲は$2/3$から$1$で、被積分関数は$x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$です。

つまり、

$\int_{2/3}^{1} (x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}) dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

定積分を計算するために、まず不定積分を求めます。

$F(x) = \int (x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}) dx$

$= \int x^3 dx - \frac{27}{4} \int x dx + \frac{27}{4} \int dx$

$= \frac{x^4}{4} - \frac{27}{4} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{27}{4}x + C$

$= \frac{x^4}{4} - \frac{27x^2}{8} + \frac{27x}{4} + C$

次に、積分範囲の端点における値を計算します。

$F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{27(1)^2}{8} + \frac{27(1)}{4} = \frac{1}{4} - \frac{27}{8} + \frac{27}{4} = \frac{2 - 27 + 54}{8} = \frac{29}{8}$

$F(\frac{2}{3}) = \frac{(\frac{2}{3})^4}{4} - \frac{27(\frac{2}{3})^2}{8} + \frac{27(\frac{2}{3})}{4} = \frac{\frac{16}{81}}{4} - \frac{27 \cdot \frac{4}{9}}{8} + \frac{27 \cdot \frac{2}{3}}{4} = \frac{16}{324} - \frac{12}{8} + \frac{18}{4} = \frac{4}{81} - \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{4}{81} + \frac{6}{2} = \frac{4}{81} + 3 = \frac{4 + 243}{81} = \frac{247}{81}$

したがって、定積分の値は

$\int_{2/3}^{1} (x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}) dx = F(1) - F(\frac{2}{3}) = \frac{29}{8} - \frac{247}{81}$

$= \frac{29 \cdot 81 - 247 \cdot 8}{8 \cdot 81} = \frac{2349 - 1976}{648} = \frac{373}{648}$

3. 最終的な答え

$\frac{373}{648}$