わかりました。画像にある数学の問題のうち、9番と10番を解きます。

わかりました。画像にある数学の問題のうち、9番と10番を解きます。

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9. 問題の内容**

関数 $f(x) = (\frac{x^2+1}{2})^9$ が与えられたとき、$f(1) + f'(1)$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順**

まず、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = (\frac{1^2+1}{2})^9 = (\frac{2}{2})^9 = 1^9 = 1$

次に、$f'(x)$ を計算します。合成関数の微分法を使うと、

$f'(x) = 9(\frac{x^2+1}{2})^8 \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x^2+1}{2}) = 9(\frac{x^2+1}{2})^8 \cdot \frac{2x}{2} = 9x(\frac{x^2+1}{2})^8$

$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = 9 \cdot 1 \cdot (\frac{1^2+1}{2})^8 = 9 \cdot (\frac{2}{2})^8 = 9 \cdot 1^8 = 9$

したがって、$f(1) + f'(1) = 1 + 9 = 10$

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3. 最終的な答え**

$f(1) + f'(1) = 10$

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0. 問題の内容**

関数 $y = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}$ を微分せよ。

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2. 解き方の手順**

対数微分法を用います。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} = 3 \ln(x+1) - 2\ln(3x-1) - 4\ln(2x+1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} - \frac{2 \cdot 3}{3x-1} - \frac{4 \cdot 2}{2x+1} = \frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y (\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1})$

$y$ に元の関数を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} (\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} (\frac{3(3x-1)(2x+1) - 6(x+1)(2x+1) - 8(x+1)(3x-1)}{(x+1)(3x-1)(2x+1)})$

分子を整理すると、

$3(6x^2 -x -1) - 6(2x^2 +3x +1) - 8(3x^2 +2x -1) = 18x^2 - 3x - 3 - 12x^2 - 18x - 6 - 24x^2 - 16x + 8 = (18-12-24)x^2 + (-3-18-16)x + (-3-6+8) = -18x^2 - 37x - 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} (-18x^2 - 37x - 1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$

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3. 最終的な答え**

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$