関数 $f(x)$と定数$a$が $\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$ を満たすとき、$f(x)$と$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$と定数$a$が

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$

を満たすとき、$f(x)$と$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$を求める。

微分積分学の基本定理より、$\int_{a}^{x} f(t) dt$を$x$で微分すると$f(x)$になる。

両辺を$x$で微分する。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (7x^2 - 4x - 3)$

$f(x) = 14x - 4$

(2) $a$の値を求める。

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$に$x=a$を代入する。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 7a^2 - 4a - 3$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$なので、

$7a^2 - 4a - 3 = 0$

この二次方程式を解く。

$7a^2 - 4a - 3 = (7a + 3)(a - 1) = 0$

よって、$a = 1, -\frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 14x - 4$

(2) $a = 1, -\frac{3}{7}$